1.1K Lượt thích, 14 Bình luận. Video TikTok từ Nss Channel (@tuyensinhnttu): "Tìm tất cả tham số m để hàm số có cực trị, bấm máy FX-580VNX,#onthi #giainhanhtoan12 #onthicungtiktok #onthitotnghiepthpt #toan12 #giaitoan12". ALMOST HOME. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x^3-3mx^2+m^3 có hai điểm cực trị cùng với điểm C(1;7/8) tạo thành một tam giác cân tại C . Hàm số có hai điểm cực trị khi `m\ne0` Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là `A(0;m^3),B(2m;-3m^3)` Mục lục. 1 1.Tìm m để hàm trùng phương có 1 điểm cực trị cực hay, có lời giải; 2 2.Tìm m để hàm số y = -x^4 +2(2m - 1)x^3 + 3 có đúng một cực trị m=-1; 3 3.1. Tìm m để hàm số có đúng một điểm cực trị. - Tự Học 365; 4 4.Dạng bài tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn - luyenthidgnl.com.vn 22. Cực trị hàm trị tuyệt đối chứa tham số m. University Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội; Course Giáo trình kinh tế chính trị MLN (abc12345) Academic year 2019/2020 Bài 12. Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + m - 1, tìm m để hàm số có 3 cực trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. 1 Bài 13. Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + 2m − 1 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị. 4 Vay Tiền Trả Góp Theo Tháng Chỉ Cần Cmnd Hỗ Trợ Nợ Xấu. Tìm m để hàm số có cực trịĐể giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Tìm tham số m để hàm số có 7 cực trị. Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc các phương pháp giải bài tập ứng dụng tìm tham số m để hàm số có cực trị cùng hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu đang xem Tìm m để hàm số có 7 cực trịTìm m để hàm số có 7 điểm cực trịVí dụ 1 Cho hàm số bậc ba y = fx có đồ thị như hình vẽ bên dướiSố giá trị nguyên của tham số m trong đoạn để hàm số hx = f2x + 2fx– m có đúng 7 cực trị làHướng dẫn giảiĐặt gx = f2x + 2fx– m=> g’x = 2fx.f’x. + 2f’x. = thêm Trường Thpt Tô Hiệu - Sơn La Và Hành Trình 60 Năm Thắp + 1g’x = 0=> g’x không xác định tại x = 0Ta có bảng biến thiên như sauTừ bảng biến thiên suy ra hàm số hx = gx có đúng 7 điểm cực trịTừ bảng biến thiên ta thấyHàm số y = fx có 3 điểm cực trịKhi đó hàm số y = fx có 7 điểm cực trị khi phương trình fx = 0 có 4 nghiệm phân biệt bội lẻ=> Mà m là số nguyên=> m = 1Vậy tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn điểu kiện đề bài bằng 1Chọn đáp án D-Trên đây đã giới thiệu đến thầy cô và học sinh tài liệu Tìm tham số m để hàm số thỏa mãn điều kiện, hy vọng tài liệu sẽ là công cụ hữu ích giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia hiệu số tài liệu liên quanChia sẻ bởi Bờm Mời bạn đánh giá! Lượt xem 58 Tài liệu tham khảo khácChủ đề liên quanMới nhất trong tuầnBản quyền ©2022 Bài toán tìm m để hàm số có cực trị Tìm m để hàm số có cực trị là một bài toán hết sức phổ biến trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Và đây cũng là dạng toán các em cần nắm vững nhất, không nên bỏ qua nhất. Có những dạng toán gì trong phần này? Chúng ta cùng tìm hiểu ngay sau đây nhé! Những lưu ý khi khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là dạng toán cơ bản nhất các em cần ôn luyện cho kỳ thi đại học. Hơn thế nữa, chúng có rất nhiều biến thể, rất nhiều dạng câu hỏi có thể đặt ra. Vì vậy, các em cần nắm chắc lý thuyết, có một nền tảng kiến thức vững vàng để có thể giải quyết các bài toán trong chương này một cách “êm đẹp” nhé! Không được quên tìm tập xác định của hàm số Bước này thật sự rất quan trọng. Nếu bỏ qua hoặc xác định sai, các em có khả năng cao làm sai tập nghiệm Lập bảng biến thiên Lưu ý hình dạng bảng biến thiên mô tả dáng của đồ thị hàm sốSau khi lập bảng biến thiên, các em cần nhớ ghi kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến để tổng hợp căn cứ cho những bước tiếp theo nhéKhi vẽ đồ thị hàm số, các em cần xác định được những điểm cực trị đã được tìm ra tại bảng biến thiên. Các giá trị đặc biêt như khi x=0, y=0. Và lấy khoảng vài điểm ngẫu nhiên để đồ thị chính xác nhất nhéChúc các em học tập tốt! Tải tài liệu miễn phí ở đây Sưu tầm Lê Anh Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn 1 điều kiện cho trước là một trong những dạng bài toán hay gặp trong phần khảo sát hàm số. Những bài toán nằm trong câu hỏi phụ của khảo sát hàm số hết sức đa dạng và trong đó cực trị hàm số bậc 3 là một dạng toán phổ biến nhất. CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC 3Bài toán tổng quát Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào tham số. Tìm giá trị của tham số để hàm số có cực đại, cực tiểu cực trị thỏa mãn điều kiện cho pháp Bước 1 Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c, y’ = 0 ⇔ 3ax2 +2bx + c = 0 1Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 1 có hai nghiệm phân biệt\\left\{\begin{matrix} a\neq 0 & \\ \Delta \Delta '\neq 0 & \end{matrix}\right.\⇔ Giá trị tham số thuộc miền D nào đó *Bước 2Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số, giải phương trình này ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện * và kết số điều kiện thường gặp- Để hàm số y = fx có 2 cực trị \\left\{\begin{matrix} a\neq 0 & \\ \Delta _{y'}>0 & \end{matrix}\right.\- Để hàm số y = fx có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành \y_{CD}.y_{CT} \x_{CD}.x_{CT} \\left\{\begin{matrix} y_{CD}+y_{CT}>0 & \\ y_{CD}.y_{CT}>0 & \end{matrix}\right.\- Để hàm số y = fx có 2 cực trị nằm phía dưới trục hoành \\left\{\begin{matrix} y_{CD}+y_{CT} \y_{CD}.y_{CT}=0\- Đồ thị có 2 điểm cực trị khác phía đối với đường thẳng d Ax +By +C = 0Chú ý Khi thay đường thẳng d bằng trục Ox hoặc Oy hoặc một đường tròn thì vẫn áp dụng kết quả trên . Các kết quả khác thì tùy từng điều kiện để áp dụng. VÍ DỤ MINH HỌA Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay >> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc. Đăng bởi Ngày 28/07/2015 46931 lượt xem Facebook Trong bài viết trước chúng ta đã biết cách tìm cực trị của một hàm số. Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu một số dạng bài tập liên quan đến cực trị hàm số cơ bản và nâng cao. Các bài tập này chủ yếu là tìm tham số m để hàm số có cực trị thảo mãn một yêu cầu nào đó. Ta thường gặp một số dạng như sau Xem lại Các phương pháp tìm cực trị của hàm số Dạng 1 Tìm m để hàm số $y = fx$ đạt cực đại hoặc cực tiểu tại ${x_0}$ Phương pháp ta sử dụng điều kiện sau Nếu $\left\{ \begin{array}{l}f'{x_0} = 0\\f”{x_0} > 0\end{array} \right.$ thì hàm số đạt cực tiểu tại ${x_0}$. Nếu $\left\{ \begin{array}{l}f'{x_0} = 0\\f”{x_0} 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = – 2$. Vậy $m = 3$ thỏa yêu cầu Với $m = 1$ thì $y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 4x – 4$. Sử dụng bảng biến thiên ta thấy hàm số không có cực trị nên $m = 1$ không thỏa yêu cầu. Vậy với m = 3 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = -2. Lưu ý Với $m = 1$ thì $y\left { – 2} \right = 0$ nên ta không thể kết luận mà phải sử dụng đến bảng biến thiên. Dạng 2 Tìm m để hàm số $y = fx$ có cực trị hoặc không có cực trị. Đối với dạng toán này, ta thường chú ý đến 2 dạng hàm số chính 1. Hàm số bậc 3 $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\left {a \ne 0} \right$ Hàm số không có cực trị $ \Leftrightarrow $ phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm hoặc nghiệm kép $ \Leftrightarrow $ $\Delta\le 0$. Hàm số có hai cực trị $ \Leftrightarrow $ phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow $ $\Delta > 0$. 2. Hàm số bậc 4 trùng phương $y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\left {a \ne 0} \right$ Hàm số có 1 cực trị $ \Leftrightarrow $ phương trình $y’ = 0$ có một nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow $ \ge $0. Hàm số có 3 cực trị $ \Leftrightarrow $ phương trình $y’ = 0$ có ba nghiệm $ \Leftrightarrow $ 0 \Leftrightarrow m \in \left { – \infty ; – 1 – \sqrt 3 } \right \cup \left { – 1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right$ Ví dụ 3 Cho hàm số $y = fx = m{x^3} + 3m{x^2} – \left {m – 1} \rightx – 1$, m là tham số. Xác định các giá trị của m để hàm số không có cực trị. Giải Với m = 0 $\Rightarrow y = x – 1$ $\Rightarrow$ nên hàm số không có cực trị. Với $m \ne 0 \Rightarrow y’ = 3m{x^2} + 6mx – \left {m – 1} \right$ Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. $\Leftrightarrow \Delta = 9{m^2} + 3m\left {m – 1} \right = 12{m^2} – 3m \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{1}{4}$ Vậy với $0 \le m \le \frac{1}{4}$ thì hàm số không có cực trị. Dạng 3 Tìm tham số m để hàm số có cực trị thỏa mãn yêu cầu. Đây là dạng bài tập nâng cao ta thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng. Để làm được dạng toán này, trước tiên ta cần nắm được phương pháp giải các dạng toán đã nêu bên trên, đồng thời phải kết hợp với một số kiến thức khác về hình học, dãy số… Ví dụ 4 Cho hàm số $y = {x^4} – 2{m^2}{x^2} + 1\,\,\left {{C_m}} \right$. Tìm m dể hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. Giải Trước tiên ta áp dụng phương pháp ở dạng 2 tìm m để hàm số có 3 cực trị. Ta có $y’ = 4{x^3} – 4{m^2}x = 4x\left {{x^2} – {m^2}} \right$ $y’ = 0 \Leftrightarrow 4x\left {{x^2} – {m^2}} \right = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2} *\end{array} \right.$ Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt. $ \Leftrightarrow $ Phương trình * phải có 2 nghiệm phân biệt khác o $ \Leftrightarrow $ $m \ne 0$ Vậy với $m \ne 0$ thì hàm số có 3 cực trị. Bây giờ ta sẽ tìm m để 3 cực trị này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông cân. Ta có với $m \ne 0$ thì $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = m \Rightarrow y = 1 – {m^4}\\x = – m \Rightarrow y = 1 – {m^4}\end{array} \right.$ Gọi 3 điểm cực trị lần lượt là $A\left {0;1} \right;B\left { – m;1 – {m^4}} \right;C\left {m;1 – {m^4}} \right$ Theo tính chất của hàm số bậc 4 trùng phương thì tam giác ABC cân tại A nên để ABC vuông cân thì AB vuông góc với AC $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$ Ta có $\overrightarrow {AB} = \left { – m; – {m^4}} \right;\overrightarrow {AC} = \left {m; – {m^4}} \right$ $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow – {m^2} + {m^8} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,l\\m = \pm 1\end{array} \right.$ Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trên đây là ba dạng toán cực trị hàm số mà chúng ta thường gặp. Trong đó dạng 1 và 2 là các dạng cơ bản chúng ta phải nắm vững trước khi tìm hiểu đến dạng 3. Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về 1. Fanpage Toán phổ thông 2. Email admin Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn! Cực trị của hàm số là giá trị mà hàm số đổi chiều biến thiên khi qua đó. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Ở chương trình toán 12 chúng ta sẽ tìm hiểu sâu xa về lý thuyết cực trị và khai thác nhiều dạng bài tập khác nhau. Đây cũng là một trong những điểm kiến thức cực kì quan trọng trong kỳ thi THPTQG những năm qua. Bài viết sau đây, VerbaLearn sẽ giúp bạn đọc nắm vững điểm kiến thức này thông qua phần lý thuyết, phân dạng bài tập và một số tài liệu hỗ trợ học nghĩa về cực trị của hàm số và hình ảnh minh họa [ quan lý thuyếtPhân dạng bài tậpTài liệu về cực trị hàm sốKhái niệm cực trị được hiểu đơn giản như sau Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Trong toán học ta cần định nghĩa rõ ràng hơn về lý thuyết cực trị của một hàm số bất kỳ. Định nghĩaGiả sử hàm số f xác định trên K K ⊂ ℝ và x0 ∈ Ka x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b ⊂ K chứa điểm x0 sao cho fx fx0, ∀ x ∈ a;b \{x0}→ Khi đó fx0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ý1 Điểm cực đại cực tiểu x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại cực tiểu fx0 của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp Nói chung, giá trị cực đại cực tiểu fx0 không phải là giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số f trên tập K; fx0 chỉ là giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số f trên một khoảng a;b chứa Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm x0; fx0 được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số kiện cần để hàm số đạt cực trịĐịnh lí 1Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’x0 = ý1 Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo kiện đủ để hàm số đạt cực trịĐịnh lí 2a Nếu f’x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 theo chiều tăng thì hàm số đạt cực tiểu tại Nếu f’x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 theo chiều tăng thì hàm số đạt cực đại tại lí 3Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a;b chứa điểm x0, f’x0 = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm Nếu f’’x0 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm Nếu f’’x0 = 0 thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo dạng bài tậpDạng 1 Tính đạo hàm để tìm cực trị của hàm số y = fx Phương pháp giảiQuy tắc ITìm tập xác y’ = f’x. Tìm x khi f’x = 0 hoặc f’x không xác các giới hạn cần bảng biến luận các điểm cực tắc IITìm tập xác y’ = f’x. Giải phương trình f’x = 0 để tìm các nghiệm x1, x2,… nếu có của f’’x và suy ra f’’x1, f’’x2,…Dựa vào dấu f’’x1, f’’x2,… để kết nhớ Quy tắc II không dùng được trong trường hợp f’x = 0 vô nghiệm hoặc Bài tập vận dụngCâu 1. Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?A. 2B. 3C. 1D. 0Lời giảiChọn BTập xác định D = hàm y’ = 4x3 – 4x = 4x x2 – 1y’ = 0 Giới hạn Bảng biến thiênTa thấy Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, giá trị cực tiểu là yCT = 0; hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là yCĐ = 1. Do đó hàm số có ba cực 2. Tìm điểm cực đại x0 của hàm số y = x3 – 3x + x0 = 2B. x0 = 1C. x0 = -1D. x0 = 3Lời giảiChọn CTập xác định D = hàm y’ = 3x2 – 3y’ = 0 Giới hạn Bảng biến thiênDựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x0 = 3. Hàm số có bao nhiêu cực trị?A. 3B. 0C. 2D. 1Lời giảiChọn BTập xác định D = ℝ \{2}Ta có Giới hạn Bảng biến thiênTa thấy hàm số đã cho không có cực 2 Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên hoặc đạo hàm cho sẵn. Một số tính chất cần lưu ýCho hàm số fx, gx cùng có đạo hàm trên tập D. Khi đó– [k․fx]’ = k․f’x với k là hằng số– [fx․gx]’ = f’x․gx + fx․g’x– [fu]’ = u’․f’u– [fx ± gx]’ = f’x ± g’x– – y = fx y = fuPhương pháp chung– Đặt gx là hàm số cần xét, ta tính đạo hàm g’x.– Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng hiệu các biểu thức để có được bảng xét dấu cho g’x.– Dựa vào bảng xét dấu dành cho g’x để kết luận về cực trị của hàm số.– Nhắc lại quy tắc về dấu của tích, thương, tổng hiệu các biểu thứcBài tập vận dụngCâu 1. Cho hàm số y = fx xác định, liên tục trên và có bảng biến thiênKhẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?A. Hàm số y = fx có giá trị cực tiểu bằng 1B. Hàm số y = fx có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1C. Hàm số y = fx đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1D. Hàm số y = fx có đúng một cực trịLời giảiChọn CDựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1Tại x = 0 mặc dù đạo hàm f’x không tồn tại nhưng hàm số fx vẫn xác định và liên tục nên hàm số đạt cực đại tại x = 2. Cho hàm số y = fx có bảng biến thiênKhẳng định nào sau đây sai?A. Hàm số y = fx nghịch biến trên khoảng 0;4B. Hàm số y = fx đạt cực đại tại điểm x = 0C. Hàm số y = fx đồng biến trên các khoảng -∞; 0 và 4; +∞D. Hàm số y = fx có hai điểm cực trịLời giảiChọn DTại x = 0 dù đạo hàm không xác định nhưng hàm số y = fx vẫn xác định và liên tục nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Tại x = 4 thì hàm số y = fx không xác định, vì vậy hàm số không có cực trị tại x = đó hàm số chỉ có duy nhất một cực 3. Cho đồ thị C của hàm số y = fx có y’ = 1 + xx + 22x – 331 – x2. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúngA. C có một điểm cực trịB. C có hai điểm cực trịC. C có ba điểm cực trịD. C có bốn điểm cực trịLời giảiChọn BXét đạo hàm y’ = 1 + xx + 22x – 331 – x2 = 1 + x2x + 22x – 331 – xy’ = 0 Vì x = -1, x = -2 là các nghiệm kép của y’ nên y’ không đổi dấu khi qua hai điểm này; x = 1, x = 3 là nghiệm kép của y’ nên y’ đổi dấu khi qua các điểm x = 1, x = đó hàm số có hai điểm cực trị x = 1, x = nhớ Cho n là số nguyên dương. ⇔ x – x12 = 0 ⇔ x = x1 ta nói x1 là nghiệm kép của phương trình. ⇔ x – x21 = 0 ⇔ x = x2 ta nói x2 là nghiệm đơn của phương trình.Câu 4. Cho hàm số y = fx có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu f’x như sauHỏi hàm số y = f x2 – 2x có bao nhiêu điểm cực tiểu?A. 4B. 2C. 3D. 1Lời giảiChọn DĐặt gx = f x2 – 2xTa có g’x = 2x – 2․f’x2 – 2xXét g’x ≥ 0 ⇔ 2x – 2․f’x2 – 2x ≥ 0Hợp nghiệm của *, ** ta có g’x ≥ 0 Do đó g’x ≤ 0 Ta có bảng biến thiênVậy hàm số y = gx = f x2 – 2x có đúng 1 điểm cực tiểu là x = 5. Cho hàm số bậc bốn y = fx. Bảng xét dấu bên dưới là của đạo hàm f’x. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?A .1B. 2C. 3D. 4Lời giảiChọn CTa có g’x = 0 Bảng xét dấuTừ bảng xét dấu ta suy ra hàm số có 3 điểm cực ý Để xét dấu g’x , ta chọn một giá trị x0 thuộc khoảng đang xét rồi thay vào lần lượt các hàm x + 1, để xét dấu chúng. Sau cùng sẽ suy ra dấu của g’x là tích của hai hàm trên. Chẳng hạn– Để xét dấu g’x trên khoảng ta chọn giá trị x0 = 2 ∈ , thay số 2 vào x + 1, ta được dấu dương +, thay 2 vào ta được > 3 nên mang dấu dương + xem bảng biến thiên ban đầu. Vì vậy mà dấu của g’x cũng là dấu dương +.– Để xét dấu g’x trên khoảng , ta chọn giá trị x0 = 1 ∈ , thay số 1 vào x + 1 ta được dấu dương +, thay số 1 vào ta được ∈ 1;3 do đó mang dấu âm – xem bảng biến thiên ban đầu. Vì vậy mà dấu của g’x là dấu âm –. Bằng cách thức này, ta có thể xét dấu g’x trên các khoảng còn lại và có được bảng xét dấu như lời giải 6. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho làA. 3B. 1C. 2D. 0Lời giảiChọn AHàm số có ba điểm cực 7. Cho hàm số y = fx có bảng biến thiên như sauTìm giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã yCĐ = 2 và yCT = 0B. yCĐ = 3 và yCT = 0C. yCĐ = 3 và yCT = -2D. yCĐ = -2 và yCT = 2Lời giảiChọn BDựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có yCĐ = 3 và yCT = 0Câu 8. Cho hàm số fx có bảng biến thiên như sauHàm số đạt cực đại tạiA. x = -2B. x = 3C. x = 1D. x = 2Lời giảiChọn CHàm số fx xác định tại x = 1, f’1 = 0 và đạo hàm đổi dấu từ + sang –.Câu 9. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c a, b, c ∈ ℝ có đồ thị như hình vẽ điểm cực trị của hàm số đã cho làA. 3B. 0C. 1D. 2Lời giảiChọn ADạng 3 Tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị của hàm số Phương pháp giảiTa có y = ax3 + bx2 + cx + d *⟶ y’ = 3ax2 + 2bx + cĐiều kiện để hàm số có n cực trị hoặc không có cực xét bảng sau a và là của đạo hàm y’Từ bảng trên, ta khẳng định– Hàm số * có hai cực trị . Ta có thể thay > 0 bởi ’ > 0.– Hàm số * có một cực trị – Hàm số * có cực trị – Hàm số * không có cực trị .Điều kiện cực trị cơ bản– Hàm số có cực trị tại x = x0Ta có y’x0 = 0. Sau khi tìm được m thì thay ngược trở lại để lập bảng biến thiên cho hàm số rồi kết luận nhận hay loại giá trị m này.– Hàm số đạt cực đại tại x = x0 hoặc hàm số đạt cực tiểu tại x = x0Ta có y’x0 = 0. Sau khi tìm được m thì thay ngược trở lại để lập bảng biến thiên cho hàm số rồi kết luận nhận hay loại giá trị m này hoặc có thể thay m tìm được vào đạo hàm cấp hai để xét dấu xem có phù hợp không.Đồ thị hàm số có điểm cực trị là Mx0; y0Ta có ⟶ tìm được m. Thay m trở lại đạo hàm để kiểm tra đạo hàm có đổi dấu khi x đi qua x0 hay thị hàm số có hai điểm cực trị là AxA; yA, BxB; yBTa có ⟶ tìm được m, n,…Điều kiện cực trị liên quan đến các trục tọa độĐồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía trục Oy Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía trục Oy Để ý Trong điều kiện trên, ta đã thay điều kiện bởi ac 0 luôn được thỏa mãnVì vậy Ta có biến đổi tương đương sau đây phù hợp trắc nghiệm– Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía trục Ox – Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía trục Ox trong hai điều kiện trên thì y1, y2 là hai giá trị cực trị của hàm số bậc ba.– Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục Ox – Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục Oy I là điểm uốnLưu ý Cách tìm điểm uốn I đồ thị bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d = 0 là y’ = 3ax2 + 2bx + c, y’’ = 6ax + 2b , thay vào hàm số ban đầu để tìm yI ⇒ IxI; yI.Các công thức giải tích liên quana Định lí Vi-ét Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 * có hai nghiệm x1, x2Ta có b Công thức nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ** có hai nghiệm phân biệt * có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac 0 ⇔ m2 – m + 6 > 0 Câu 2. Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m + 2 x3 + 3x2 + mx – 6 có 2 cực trị ?A. m ∈ -3;1 \{2}B. m ∈ -3;1C. m ∈ -∞;-3 ∪ 1; +∞D. m ∈ [-3;1]Lời giảiChọn ATập xác định D = ℝĐạo hàm y’ = 3m + 2 x2 + 6x + mHàm số có hai cực trị Câu 3. Tập hợp tất cả giá trị của m để hàm số y = = ⅓m – 1 x3 – mx2 + mx – 5 có cực trị làA. B. m ≠ 1C. m > 0D. m ≥ 0Lời giảiChọn CTập xác định D = ℝĐạo hàm y’ = m – 1 x2 – 2mx + mHàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = x3 – 2x2 + m + 3 x – 1 không có cực trị?A. B. C. D. Lời giảiChọn ATập xác định D = ℝĐạo hàm y’ = 3x2 – 4x + m + 3Ta thấy a = 1 ≠ 0. Vậy hàm số không có cực trị ⇔ ’ ≤ 0⇔ -22 – 3m + 3 ≤ 0 ⇔ -3m – 5 ≤ 0 ⇔ Câu 5. Giá trị của m để hàm số y = x3 – 3mx2 + 3m2 – 1 x + m đạt cực đại tại x = 1 làA. m = -1B. m = -2C. m = 2D. m = 0Lời giảiChọn CTập xác định D = ℝĐạo hàm y’ = 3x2 – 6mx + 3m2 – 1Hàm số có cực đại tại x = 1 nên y’1 = 0 ⇒ 3 – 6m + 3m2 – 1 = 0 ⇒ Xét m = 0. Ta có y’ = 3x2 – 3; y’’ = 6x. Khi đó y’’1 = 6 > 0 suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 loại m = 0 vì trái giả thiết.Xét m = 2. Ta có y’ = 3x2 – 12x + 9; y’’ = 6x – 12. Khi đó y’’1 = -6 – ⅓Lời giảiTập xác định D = ℝĐạo hàm y’ = 3mx2 + 2x + m2 – 6Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y’1 = 0 ⇒ 3m+ 2 + m2 – 6 = 0 ⇒ Xét m = 1. Ta có y’ = 3x2 + 2x – 5; y’’ = 6x + 2. Khi đó y’’1 = 8 > 0, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1. Vì vậy m = 1 thỏa m = -4. Ta có y’ = -12x2 + 2x + 10; y’’ = -24x + 2. Khi đó y’’1 = -22 0 ⇔ 9 + 3m > 0 ⇔ m > -3 *Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị là Các điểm cực trị cách đều đường thẳng d y = x – 1Trường hợp 1 loại do *Trường hợp 2 Gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số làĐiểm I là trung điểm của AB nênI ∈ d y = x – 1 ⇔ -m = 1 – 1 ⇔ m = 0 thỏa mãn do *Dạng 5 Bài toán tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị hàm số y = ax4 + bx2 + c Phương pháp giảiSố cực trị của hàm số y = ax4 + bx2 + cĐạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx = 2x 2ax2 + b; y’ = 0 Nhìn vào phương trình y’ = 0, ta thấy luôn có một nghiệm x = 0. Do đó việc biện luận tiếp theo sẽ phụ thuộc vào phương trình * . Từ * ta thấyTừ đây, ta có thể khẳng địnhHàm số không có cực trị ⇔ a = b = 0Hàm số có cực trị ⇔ a2 + b2 > 0Hàm số có một cực trị ⇔ Hàm số có ba cực trị ⇔ a․b 0 là thể hiện a, b không đồng thời bằng 0, tuy nhiên BPT a2 + b2 > 0 mang tính phức tạp do bậc của m có thể ≥ 4. Để khắc phục điều này, ta dùng phương pháp phủ định như sauXét Giải tìm ⟶ Quay lại giải a2 + b2 > 0 tức là lấy phủ định kết quả của bước một. Ta có Tìm điều kiện để hàm số y = ax4 + bx2 + c thỏa mãn điều kiện K– Bước 1 Tập xác định D = ℝ. Đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx = 2x 2ax2 + by’ = 0 ⇔ – Bước 2 Điều kiện hàm số có một cực trị hoặc có ba cực trị – Xem mục 1 lý thuyết.– Bước 3 Dựa vào điều kiện K đề tìm tham số m rồi so sánh điều kiện có cực trị bước 2 trước khi kết lý điều kiện K Công thức trắc nghiệmHàm số có cực trị và thỏa mãnHàm số có cực đại mà không có cực tiểu Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại Ba cực trị tạo thành tam giác vuông hoặc đều, ta dùng công thức nhanh Ba cực trị tạo thành tam giác vuông Ba cực trị tạo thành tam giác đều Ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích dùng công thức nhanh bình phương diện tích Tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị là A0;c, với = b2 – 4acTam giác ABC có Công thức diện tích khác ; S = pr .Trong đóR, r theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giáca, b, c là độ dài ba cạnh; là nửa chu vi tam giácBài tập vận dụngCâu 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trên miền [-10;10] để hàm số y = x4 – 22m + 1 x2 + 7 có ba điểm cực trị?A. 20B. 10C. Vô sốD. giảiChọn DCách 1 Tự luậnTập xác định D = ℝ .Ta có y’ = 4x3 – 42m + 1 x y’ = 0 ⇔ 4x3 – 42m + 1 x = 0 Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt⇔ Phương trình * có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ 2m + 1 > 0 ⇔ m > -½ .Vì m nguyên thuộc [-10;10] nên m ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}Cách 2 Trắc nghiệmHàm số có ba cực trị khi và chỉ khi a․b 0 ⇔ m > 2. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx4 + m2 – 9 x2 + 10 có 3 cực m ∈ 0; 3B. m ∈ 3; +∞C. m ∈ -∞; -3 ∪ 0; 3D. m ∈ -3; 0 ∪ 3; +∞Lời giảiChọn CCách 1 Tự luậnTập xác định D = ℝ .Ta có y’ = 4mx3 – 2m2 – 9 x = 2x 2mx2 + m2 – 9y’ = 0 ⇔ Hàm số đã cho có 3 cực trị ⇔ y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 0 .Suy ra m ∈ -∞; -3 ∪ 0; 3Cách 2 Trắc nghiệmHàm số có ba cực trị khi và chỉ khi ab < 0 ⇔ m m2 – 9 < 0 Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx4 + m – 1 x2 + 1 – 2m chỉ có một cực m ≥ 1B. m ≤ 0C. 0 ≤ m ≤ 1D. m ≤ 0 hoặc m ≥ 1Lời giảiChọn DHàm số có một cực trị khi và chỉ khi⇔ m ≤ 0 ∨ m ≥ 1Vậy m m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 thỏa mãn đề bàiCâu 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực tiểu mà không có cực m ≥ 0B. m ≤ 0C. m ≥ 1D. m = -1Lời giảiChọn BNhận xét Có hai trường hợp để hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực tiểu mà không có cực đạiMột là Hàm bậc bốn có đúng một cực trị và là cực tiểu, khi đó Hai là Hàm số trở thành hàm bậc hai đồ thị parabol có bề lõm hướng lên, ta có Ta thấy , vì vậy điều kiện bài toán tương đương với b ≥ 0 ⇔ -2m ≥ 0 ⇔ m ≤ 0Vậy m ≤ 0 thỏa mãn đề 5. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = m2 – 1 x4 + mx2 + m – 2 chỉ có một điểm cực đại mà không có điểm cực -1,5 < m ≤ 0B. m ≤ -1C. -1 ≤ m ≤ 0D. -1 < m < 0,5Lời giảiChọn CHàm số có một điểm cực đại mà không có cực tiểu Giải 1 Giải 2 Từ * và ** suy ra -1 ≤ m ≤ 0Dạng 6 Tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị của những hàm số khác Phương pháp giảiHàm số phân thức bậc hai trên bậc mộtHàm số Tập xác định D = ℝ \ Đạo hàm vớiHàm số có hai điểm cực trị ⇔ y’ đổi dấu hai lần trên tập xác định ⇔ gx = 0 có hai nghiệm phân biệt khác .Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị có phương trìnhHàm số chứa dấu giá trị tuyệt đốiHàm số y = fxĐạo hàm Cho trước đồ thị hàm số y = fx liên tục trên D. Ta xác định đồ thị hàm y = fx– Bước 1 Giữ nguyên phần đồ thị y = fx nằm phía trên trục hoành.– Bước 2 Lấy đối xứng phần đồ thị y = fx nằm dưới trục hoành qua trục của hai phần trên bỏ phần dưới trục hoành, ta được đồ thị hàm y = fx.Minh họaĐồ thị y = fxĐồ thị y = fxĐúc kết Số cực trị hàm y = fx = số cực trị hàm y = fx + Số giao điểm không tính tiếp xúc Hàm số y = fxCho trước đồ thị hàm số y = fx liên tục trên D. Ta xác định đồ thị hàm y = fx– Bước 1 Giữ nguyên phần đồ thị y = fx nằm bên phải trục tung ứng với x ≥ 0; bỏ đi phần đồ thị y = fx nằm bên trái trục tung ứng với x < 0– Bước 2 Lấy đối xứng phần đồ thị y = fx nằm bên phải trục tung qua trục của hai phần trên, ta được đồ thị hàm y = fxMinh họaĐồ thị y = fxĐồ thị y = fxĐúc kết Xét hàm đa thức fx có tập xác định là ℝ chắc chắn đồ thị hàm này sẽ cắt Oy tại một điểm, ta cóSố cực trị hàm y = fx = 2 × Số cực trị nằm bên phải Oy của hàm y = fx +1Để cho dễ nhớ, ta gọi n là số cực trị dương của hàm số y = fx, khi ấy số cực trị của hàm số y = fx bằng 2n + tập vận dụngCâu 1. Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho hàm số có cực đại, cực m ∈ ℝB. m = 0C. m = 1D. m = -1Lời giảiChọn ATập xác định D = ℝ \{m}.Đạo hàm Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ đổi dấu hai lần trên tập xác định ⇔ gx = 0 có hai nghiệm phân biệt khác mCâu 2. Tìm tất cả giá trị tham số m để điểm A1; -3 cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành ba điểm không thẳng B. m ≠ 1C. D. Lời giảiChọn CTập xác định D = ℝ \{-1}.Đạo hàm Hàm số có hai cực trị ⇔ y’ đổi dấu hai lần trên tập xác định ⇔ gx = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -1Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị là d Điểm A1; -3 ∉ d ⇔ -3 ≠ 2․1 + 2m ⇔ Vậy m < 1 và thỏa mãn đề 3. Cho hàm số m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có giá trị cực đại là m = 7B. m = 5C. m = -9D. m = -5Lời giảiChọn CĐiều kiện x ≠ hàm y’ = 0 Vì 1 – m ≠ -1 – m, ∀ m ∈ ℝ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị ∀ m ∈ trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị là y = 2x + mSuy ra y 1 – m = 2 – m, y -1 – m = -2 – mTa có bảng biến thiênTa có yCĐ = -2 – m = 7 ⇔ m = -9Tài liệu về cực trị hàm sốTổng hợp những tài liệu hay nhất cho chuyên đề cực trị của hàm số và các vấn đề liên quan. Các tài liệu đều được chọn lọc kĩ càng trước khi đăng Bài tập cực trị của hàm sốThông tin tài liệuThông tin tài liệu Tác giảThầy Diệp TuânSố trang126Lời giải chi tiếtKhôngMục lục tài liệu– Lý thuyết cực trị của hàm số– Dạng 1 Tìm các điểm cực trị của hàm số.– Dạng 2 Định tham số m để hàm số f x đạt cực trị.– Dạng 3 Ứng dụng cực trị giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số.– Dạng 4 Xác định cực trị của hàm hợp khi biết đồ thị, BBT của hàm số con– Dạng 5 Cực trị của hàm giá trị tuyệt đốiXem tài liệu 2. Bài tập cực trị hàm số Vận Dụng CaoThông tin tài liệuThông tin tài liệuSố trang72Lời giải chi tiếtCóMục lục tài liệu– Kiến thức cơ bản cần nắm– Dạng 1 Cho hàm số f x hoặc f x . Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị– Dạng 2. Tìm điểm cực trị thông qua bảng xét dấu, bảng biến thiên của đạo hàm– Dạng 3. Tìm điểm cực trị thông qua đồ thị f , f’ , f’’– Dạng 4 Cực trị hàm bậc ba– Dạng 5. Cực trị hàm bậc bốn trùng phương– Dạng 6. Cực trị hàm phân thức– Dạng 7 Cực trị của hàm chứa căn– Dạng 8 Cực trị của hàm bậc cao và hàm lượng giác– Dạng 9Tìm cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối– Dạng 10 Tìm cực trị của hàm số trị tuyệt đối nếu biết bảng biến thiên hoặc đồ thị– Dạng 11 Một số bài toán sử dụng phép dịch chuyển đồ thị– Dạng 12 Định tham số để hàm số chứa dấu trị tuyệt đối có n điểm cực trị– Dạng 13 Cho bảng biến thiên, định giá trị tham số để hàm số trị tuyệt đối có n điểm cực trị– Dạng 14 Cho đồ thị, định tham số để có hàm số có n điểm cực trị– Dạng 15. Biết được đồ thị của hàm số f x tìm số điểm cực trị của hàm ẩn– Dạng 16. Tìm số điểm cực trị hàm ẩn biết đồ thị của hàm số f x– Dạng 17. Biết được f x hoặc bảng xét dấu, bảng biến thiên của f x, tìm số điểm cực trị của hàm ẩnXem tài liệu 3. Bài tập cực trị của hàm số Vận Dụng và Vận Dụng CaoThông tin tài liệuThông tin tài liệuTác giảGiáo viên THPT Đầm DơiSô trang115Lời giải chi tiếtCóMục lục tài liệu– Dạng 1 Tìm cực trị của hàm số– Dạng 2 Cực trị hàm bậc ba, hàm trùng phương– Dạng 3 Cực trị các hàm số khácXem tài liệu 4. Cực trị của hàm ẩnThông tin tài liệuThông tin tài liệuTác giảThầy Nguyễn Minh NhiênSố trang17Lời giải chi tiếtCóCác bài toán về xác định cực trị của hàm số cho bởi bảng biến thiên, đồ thị hay đạo hàm của nó ta vẫn gọi là cực trị hàm ẩn thường gây khó khăn cho nhiều thí sinh. Tài liệu này sẽ giúp các em có tìm ra hướng tiếp cận đơn giản nhất để giải quyết các bài toán đó thật dễ tài liệu 5. Cực trị hàm hợp và hàm liên kết vận dụng caoThông tin tài liệuThông tin tài liệuTác giảThầy Đặng Việt ĐôngSố trang78Lời giải chi tiếtCóMục lục tài liệu– Dạng 1 Cực trị fx, fu,… biết các đồ thị không tham số– Dạng 2 Cực trị fx, fu,… biết các BBT, B XD không tham số– Dạng 3 Cực trị fx, fu,…liên quan biểu t hức đạo hàm không tham số – Dạng 4 Cực trị của hàm liên kết hx = fu + gx biết các BBT, đồ thị không tham số– Dạng 5 Cực trị hàm hợp fu, gfx, hàm liên kết…có tham tài liệu 6. Cực trị hàm số chứa giá trị tuyệt đốiThông tin tài liệuThông tin tài liệuSố trang44Lời giải chi tiếtCóMục lục tài liệu– Dạng 1 Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối khi cho hàm số y = f’x.– Dạng 2 Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối khi cho bảng biến thiên và bảng xét dấu.– Dạng 3 Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối khi cho đồ thị.– Dạng 4 Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối của hàm đa thức chứa tham tài liệu 7. Cực trị hình họcThông tin tài liệuThông tin tài liệuTác giảCô Nguyễn Thị Thúy HằngSố trang75Lời giải chi tiếtCóMục lục tài liệu– Giải toán cực trị hình học bằng hình học thuần túy.– Giải toán cực trị hình học bằng công cụ đại số.– Giải toán cực trị hình học bằng các phương pháp tài liệu 8. Đếm số điểm cực trị dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm sốThông tin tài liệuThông tin tài liệuTác giảNhóm WORDSố trang14Lời giải chi tiếtCóMục lục tài liệu– Kiến thức cần nhớ– Bài tập mẫu– Bài tập vận dụngXem tài liệu Qua bài học hôm nay, mong rằng VerbaLearn đã giúp bạn đọc có thể nắm vững hơn về kiến thức cực trị của hàm số. Đây là một mảng kiến thức rộng và có nhiều dạng bài tập khác nhau. Để học tốt ngoài nắm chắc lý thuyết thì người học cần phải có thời gian rèn luyện bài tập để tiếp xúc với nhiều dạng nhất có trị viên website Với kinh nghiệm hơn 10 năm đi dạy và mong muốn tạo môi trường học tập miễn phí, tôi thành lập website này với mục đích chia sẽ kiến thức giáo dục đến học sinh các cấp tiểu học, THCS, THPT và Đại Học.

tìm m để hàm số có 7 cực trị